Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště - en

Vlastnosti

Jádro $L$ je podprostor domény $V$ V lineárním zobrazení $L:V\to W,$ dva prvky z $V$ mají stejný obraz ve $W$ právě tehdy, když jejich rozdíl leží v jádře $L$, tj.

$$L\left({\boldsymbol {v}}_{1}\right)=L\left({\boldsymbol {v}}_{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left({\boldsymbol {v}}_{1}-{\boldsymbol {v}}_{2}\right)={\boldsymbol {0}}.$$

Z toho vyplývá, že obraz $L$ je izomorfní s kvocientem $V$ jádrem:

$$\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$$

V případě, že $V$ je konečná dimenze, to implikuje teorém hodnost-nulita :

$$\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).$$

kde termín

$$\operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),$$

takže teorém hodnost-nulita může být přeformulován jako

$$\operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).$$

Když $V$ je vnitřní prostor součinu, kvocient $V/\ker(L)$ lze identifikovat s ortogonálním doplňkem ve $V$ z $\ker(L)$ Toto je zobecnění na lineární operátory řádkového prostoru nebo coimage matice.

Aplikace na moduly

Pojem kernel také dává smysl pro homomorfismy modulů, což jsou zobecnění vektorových prostorů, kde skaláry jsou prvky prstence, spíše než pole . Doménou mapování je modul, přičemž jádro tvoří submodul. Zde nemusí nutně platit pojmy hodnost a nulita.

Ve funkční analýze

Jestliže $V$ a $W$ jsou topologické vektorové prostory takové, že $W$ je konečnorozměrný, pak lineární operátor $L$ : PROTI → $W$ je spojitý právě tehdy, když jádro $L$ je uzavřeným podprostorem $V$ .

Reprezentace jako maticové násobení

Uvažujme lineární mapu reprezentovanou jako $m\times n$ matici ${\boldsymbol {A}}$ s koeficienty v tělese $T$ (typicky $\mathbb {R}$ nebo $\mathbb {C}$, kde ${\boldsymbol {0}}$ je chápána jako nulový vektor . Dimenze jádra ${\boldsymbol {A}}$ se nazývá nulita ${\boldsymbol {A}}$ . V notaci set-builder ,

$\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{{\boldsymbol {x}}\in K^{n}\mid A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}\right\}.$

Maticová rovnice je ekvivalentní homogenní soustavě lineárních rovnic :

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Jádro ${\boldsymbol {A}}$ je tedy stejné jako řešení sestavené pro výše uvedené homogenní rovnice.

Vlastnosti podprostoru

Jádrem matice m\times n ${\boldsymbol {A}}$ nad polem ${\boldsymbol {K}}$ je lineární podprostor '${\boldsymbol {K}}$' ^{$n$} . To znamená, že jádro ${\boldsymbol {A}}$, množina Null( ${\boldsymbol {A}}$ ), má následující tři vlastnosti:

1. Null( ${\boldsymbol {A}}$ ) vždy obsahuje nulový vektor, protože ${\boldsymbol {A}}$0 = 0 .
2. Jestliže '$x$' ∈ Null(${\boldsymbol {A}}$) a '$y$' ∈ Null(${\boldsymbol {A}}$), pak '$x$' + '$y$' ∈ Null(${\boldsymbol {A}}$) . To vyplývá z distributivity násobení matic nad sčítáním.
3. Jestliže '$x$' ∈ Null(${\boldsymbol {A}}$) ac je skalární $c$ ∈ ${\boldsymbol {K}}$, pak $c$'$x$' ∈ Null(${\boldsymbol {A}}$), protože ${\boldsymbol {A}}$($c$'$x$') = $c$(${\boldsymbol {A}}$'$x$') = $c$0 = 0 .

Řádkový prostor matice

Součin ${\boldsymbol {A}}$ '$x$' lze zapsat jako bodový součin vektorů takto:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}\cdot {\boldsymbol {x}}\\{\boldsymbol {a}}_{2}\cdot {\boldsymbol {x}}\\\vdots \\{\boldsymbol {a}}_{m}\cdot {\boldsymbol {x}}\end{pmatrix}}.$

Tady 1 _{,} ... , '$a$' _{$m$} označují řádky matice ${\boldsymbol {A}}$ . Z toho vyplývá, že '$x$' je v jádře ${\boldsymbol {A}}$ právě tehdy, když '$x$' je ortogonální (nebo kolmé) ke každému z řádkových vektorů ${\boldsymbol {A}}$ (protože ortogonalita je definována jako bodový součin 0).

Řádkový prostor neboli coimage matice ${\boldsymbol {A}}$ je rozsah řádkových vektorů ${\boldsymbol {A}}$ . Podle výše uvedené úvahy je jádro ${\boldsymbol {A}}$ ortogonálním doplňkem k prostoru řádků. To znamená, že vektor '$x$' leží v jádře ${\boldsymbol {A}}$, právě když je kolmý ke každému vektoru v řádkovém prostoru ${\boldsymbol {A}}$ .

Dimenze prostoru řádků ${\boldsymbol {A}}$ se nazývá hodnost ${\boldsymbol {A}}$ a dimenze jádra ${\boldsymbol {A}}$ se nazývá nulita A. Tyto veličiny spolu souvisí teorémem hodnost-nulita

$\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

Levý prázdný prostor

Levý nulový prostor nebo kokernel matice ${\boldsymbol {A}}$ se skládá ze všech sloupcových vektorů '$x$' tak, že '$x$' ^{T} ${\boldsymbol {A}}$ = 0 ^{T}, kde T označuje transpozici matice. Levý prázdný prostor ${\boldsymbol {A}}$ je stejný jako jádro ${\boldsymbol {A}}$ ^{T} . Levý nulový prostor ${\boldsymbol {A}}$ je ortogonálním doplňkem k prostoru sloupců ${\boldsymbol {A}}$ a je duální s kokernelem související lineární transformace. Jádro, prostor řádků, sloupcový prostor a levý prázdný prostor ${\boldsymbol {A}}$ jsou čtyři základní podprostory spojené s maticí ${\boldsymbol {A}}$ .

Nehomogenní soustavy lineárních rovnic

Jádro také hraje roli při řešení nehomogenního systému lineárních rovnic:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Jestliže '$u$' a '$v$' jsou dvě možná řešení výše uvedené rovnice, pak

${\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}})=A{\boldsymbol {u}}-A{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {0}}\,$

Tedy rozdíl libovolných dvou řešení rovnice ${\boldsymbol {A}}$ '$x$' = '$b$' leží v jádře ${\boldsymbol {A}}$ .

Z toho vyplývá, že jakékoli řešení rovnice ${\boldsymbol {A}}$ '$x$' = '$b$' lze vyjádřit jako součet pevného řešení '$v$' a libovolného prvku jádra. Tedy řešení dané rovnice ${\boldsymbol {A}}$ '$x$' = '$b$' je

$\left\{{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {x}}\mid A{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {b}}\land {\boldsymbol {x}}\in \operatorname {Null} (A)\right\},$

Geometricky to říká, že řešení je nastaveno na ${\boldsymbol {A}}$ '$x$' = '$b$' je translace jádra ${\boldsymbol {A}}$ vektorem '$v$' . Viz také Fredholmova alternativa a plochá (geometrie) .

Příklady

• Jestliže $<math>L$: '${\boldsymbol {R}}$'^{$m$} → '${\boldsymbol {R}}$'^{$n$}</math>, pak jádro $L$ je řešení zasazené do homogenního systému lineárních rovnic . Stejně jako na obrázku výše, pokud $L$ je operátor:
  $$L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$$
• Nechť ${\boldsymbol {C}}$ [0,1] označuje vektorový prostor všech spojitých reálně hodnotných funkcí na intervalu [0,1] a definujme $<math>L$: ${\boldsymbol {C}}$[0,1] → '${\boldsymbol {R}}$'</math> pomocí pravidla
  $$L(f)=f(0.3).$$
• Nechť ${\boldsymbol {C}}$ ^{∞} ( '${\boldsymbol {R}}$' ) je vektorový prostor všech nekonečně diferencovatelných funkcí $'<math>{\boldsymbol {R}}$' → '${\boldsymbol {R}}$'</math> a nechť $<math>{\boldsymbol {D}}$: ${\boldsymbol {C}}$^{∞}('${\boldsymbol {R}}$') → ${\boldsymbol {C}}$^{∞}('${\boldsymbol {R}}$')</math> je derivační operátor :
  $$D(f)={\frac {df}{dx}}.$$
• Nechť $'<math>{\boldsymbol {R}}$'^{∞}</math> je přímý produkt nekonečně mnoha kopií $'<math>{\boldsymbol {R}}$'</math> a $<math>s$: '${\boldsymbol {R}}$'^{∞} → '${\boldsymbol {R}}$'^{∞}</math> je operátor posunu
  $$s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$$
• Jestliže $V$ je vnitřní součinový prostor a $W$ je podprostor, jádro ortogonální projekce $<math>V$ → $W$</math> je ortogonální doplněk k $W$ ve $V$ .

Výpočet Gaussovou eliminací

Základ jádra matice lze vypočítat Gaussovou eliminací .

Pro tento účel, je-li matice m\times n ${\boldsymbol {A}}$, nejprve sestrojíme řádkovou rozšířenou matici ${\begin{pmatrix}A\\\hline I\end{pmatrix}},$ kde ${\boldsymbol {I}}$ je n\times n matice identity .

Výpočtem jeho sloupcového tvaru pomocí Gaussovy eliminace (nebo jiné vhodné metody) dostaneme matici ${\begin{pmatrix}B\\\hline C\end{pmatrix}}.$ Základ jádra ${\boldsymbol {A}}$ sestává z nenulových sloupců ${\boldsymbol {C}}$ tak, že odpovídající sloupec ${\boldsymbol {B}}$ je nulový sloupec .

Ve skutečnosti může být výpočet zastaven, jakmile je horní matice ve tvaru sloupce: zbytek výpočtu spočívá ve změně základu vektorového prostoru generovaného sloupci, jejichž horní část je nulová.

Předpokládejme například, že

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Pak

${\begin{pmatrix}A\\\hline I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Dáme-li horní část do sloupcového tvaru sloupcovými operacemi na celé matici, dostaneme

${\begin{pmatrix}B\\\hline C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Poslední tři sloupce ${\boldsymbol {B}}$ jsou nulové sloupce. Proto tři poslední vektory ${\boldsymbol {C}}$ ,

$\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$

jsou základem jádra ${\boldsymbol {A}}$ .

Proof that the method computes the kernel: Since column operations correspond to post-multiplication by invertible matrices, the fact that ${\begin{pmatrix}A\\\hline I\end{pmatrix}}$ reduces to ${\begin{pmatrix}B\\\hline C\end{pmatrix}}$ means that there exists an invertible matrix ${\boldsymbol {P}}$ such that ${\begin{pmatrix}A\\\hline I\end{pmatrix}}P={\begin{pmatrix}B\\\hline C\end{pmatrix}},$ with ${\boldsymbol {B}}$ in column echelon form. Thus ${\boldsymbol {A}}P=B,IP=C,$ and $AC=B.$ A column vector ${\boldsymbol {v}}$ belongs to the kernel of ${\boldsymbol {A}}$ (that is ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}$) if and only if ${\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {0}},$ where ${\boldsymbol {w}}=P^{-1}{\boldsymbol {v}}=C^{-1}{\boldsymbol {v}}.$ As ${\boldsymbol {B}}$ is in column echelon form, ${\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {0}},$ if and only if the nonzero entries of ${\boldsymbol {w}}$ correspond to the zero columns of ${\boldsymbol {B}}.$ By multiplying by ${\boldsymbol {C}}$, one may deduce that this is the case if and only if ${\boldsymbol {v}}=C{\boldsymbol {w}}$ is a linear combination of the corresponding columns of ${\boldsymbol {C}}.$

Numerický výpočet

Problém výpočtu jádra na počítači závisí na povaze koeficientů.

Přesné koeficienty

Pokud jsou koeficienty matice přesně danými čísly, lze sloupcový tvar matice vypočítat pomocí Bareissova algoritmu efektivněji než pomocí Gaussovy eliminace. Ještě efektivnější je použít modulární aritmetiku a čínskou větu o zbytku, která problém redukuje na několik podobných přes konečná pole (tím se vyhne režii vyvolané nelinearitou výpočetní složitosti celočíselného násobení). </link>

Pro koeficienty v konečném poli funguje Gaussova eliminace dobře, ale pro velké matice, které se vyskytují v kryptografii a výpočtu na Gröbnerově bázi, jsou známy lepší algoritmy, které mají zhruba stejnou výpočetní složitost, ale jsou rychlejší a chovají se lépe s moderním počítačovým hardwarem . </link>

Výpočet s plovoucí desetinnou čárkou

Pro matice, jejichž položky jsou čísla s plovoucí desetinnou čárkou, má problém výpočtu jádra smysl pouze pro matice takové, že počet řádků je roven jejich pořadí: kvůli chybám zaokrouhlování má matice s plovoucí desetinnou čárkou téměř vždy plné pořadí., i když se jedná o aproximaci matice mnohem menší úrovně. I pro matici s plnou hodností je možné vypočítat její jádro, pouze pokud je dobře podmíněné, tj. má nízké číslo podmínky . </link>

Dokonce i u dobře podmíněné matice plného pořadí se Gaussova eliminace nechová správně: zavádí chyby zaokrouhlování, které jsou příliš velké na získání významného výsledku. Protože výpočet jádra matice je speciálním příkladem řešení homogenního systému lineárních rovnic, lze jádro vypočítat pomocí libovolného z různých algoritmů určených k řešení homogenních systémů. Nejmodernějším softwarem pro tento účel je knihovna Lapack . </link>

Viz také

[[Kategorie:Numerická lineární algebra]] [[Kategorie:Matice]] [[Kategorie:Funkcionální analýza]] [[Kategorie:Lineární algebra]] [[Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady]]