Skalární součin [1] je v matematice bilineární zobrazení
V
×
V
→
T
{\displaystyle V\times V\to T}
, kde
V
{\displaystyle V}
je vektorový prostor nad tělesem
T
{\displaystyle T}
, přiřazující dvojici vektorů skalár .
Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
a
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
jsou:
a
⋅
b
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
– značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }
– značení běžné ve funkcionální analýze
(
a
,
b
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
– starší značení, dnes již méně používané
b
(
a
,
b
)
{\displaystyle b\,(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
–
b
{\displaystyle b}
jako bilineární forma
⟨
b
∣
a
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {b} \mid \mathbf {a} \rangle }
– při použití Diracovy notace v kvantové mechanice
Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem (
⋅
:
V
×
V
→
T
{\displaystyle \cdot :V\times V\to T}
) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v
n
{\displaystyle n}
-rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
…
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}}
,
a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
a
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
plyne nerovnost
−
1
≤
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
≤
1
{\displaystyle -1\leq {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\leq 1}
, tj.:
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
φ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\ \cos \varphi }
,
kde
φ
∈
⟨
0
,
π
⟩
{\displaystyle \varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle }
je úhel svíraný vektory
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
a
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
. Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální , tj. kolmé.
Skalární součin
pro všechny nenulové vektory
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}
a všechna
a
∈
T
{\displaystyle a\in T}
platí:
(
v
,
v
)
>
0
{\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}
(
v
,
0
)
=
(
0
,
v
)
=
(
0
,
0
)
=
0
{\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {0} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0}
(
u
+
v
,
w
)
=
(
u
,
v
+
w
)
=
(
u
,
w
)
+
(
v
,
w
)
{\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
(
a
u
,
v
)
=
(
u
,
a
v
)
=
a
(
u
,
v
)
{\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní , tzn.:
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}
v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení , platí:
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
¯
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}
(
a
u
,
v
)
=
(
u
,
a
v
)
=
a
¯
(
u
,
v
)
{\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
Mějme dva trojrozměrné vektory
a
=
[
1
,
2
,
3
]
{\displaystyle \mathbf {a} =[1,2,3]}
a
b
=
[
4
,
5
,
6
]
{\displaystyle \mathbf {b} =[4,5,6]}
. Potom jejich skalární součin je:
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
=
1
⋅
4
+
2
⋅
5
+
3
⋅
6
=
32
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}
.
pro dva vektory
u
=
∑
i
=
1
n
u
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i}}
a
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}
, zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
, lze skalární součin definovat jako:
(
u
,
v
)
=
∑
i
,
j
=
1
n
(
e
i
,
e
j
)
u
i
v
j
¯
=
∑
i
,
j
=
1
n
g
i
j
u
i
v
j
¯
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}
, kde
g
i
j
=
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}
je metrický tenzor (v tomto případě matice ).
pro dvě posloupnosti
a
,
b
:
N
→
C
{\displaystyle a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }
lze skalární součin definovat jako řadu :
(
a
,
b
)
=
∑
i
=
0
∞
a
i
b
i
¯
{\displaystyle (a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}}
, pokud řada konverguje.
(
f
,
g
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\ dx}
, pokud integrál konverguje.
↑ BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání) . [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9 . Je zde použita šablona {{Citation }}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.