Wikipedista:JozumBjada/Pískoviště 2

clanek o "MBQC"

TODO: zjistit si správné překlady do češtiny

Kvantové počítání měřením???

Kvantové počítání založené na měření (anglicky measurement-based quantum computation, zkratka MBQC) je druh výpočetní architektury pro kvantové počítače. Výpočet je narozdíl od ostatních architektur, založených na unitárním vývoji vstupního kvantového stavu, prováděn posloupností (jedno- či dvoučásticových) kvantových měření.

Kvantová mechanika identifikuje dva druhy vývoje fyzikálního systému. Tím prvním je plynulý deterministický časový vývoj popsaný unitárním operátorem, který si jako vstup vezme počáteční stav systému a vrátí stav výsledný. Tím druhým je pak kolaps kvantového stavu, k němuž dochází následkem kvantového měření. Tento proces je nedeterministický a je popsán měřicími operátory. Kvantový výpočet přitom není nic jiného než druh časového vývoje vstupního stavu. Jedním ze způsobů, jakým implementovat kvantový algoritmus je tak vyjádřit tento jako unitární operátor a ten posléze rozložit do jednotlivých kvantových hradel. Výsledné schéma se označuje jako kvantový obvod. Architektura založená na kvantových obvodech představuje převládající model kvantového počítání. Jistým protějškem kvantových obvodů je pak MBQC přístup, který využívá druhého jmenovaného vývoje a sice kvantového měření. Výsledek kvantového měření není dopředu znám a může se tak zdát překvapivé, že pospojováním posloupnosti kvantových měření lze sestrojit deterministický algoritmus, který na tatáž data vrátí pokaždé stejný (a správný) výsledek. Toho je docíleno využitím korekcí, což jsou dodatečné operátory, které se za běhu vkládají do algoritmu.

Studium MBQC architektury započalo jako nadstavba kvantových obvodů, kde se jednotlivá hradla implementovala pomocí kvantové teleportace. Celkem záhy však byla vynalezena architektura tak zvaného jednosměrného počítače, která je na kvantových obvodech zcela nezávislá a umožňuje studovat kvantové algoritmy novým způsobem. Elegantní konstrukce jednosměrného počítače odsunula předchozí modely počítání do pozadí a stala se tak populární, že se označení jednosměrný počítač a na měření založené počítání používají často jako synonyma. V současnosti (rok 2023) představuje jednosměrný počítač pro svou relativní jednoduchost jednu z nejslibnějších architektur pro konstrukci optického kvantového počítače.

Historie

Prvními, kdo ukázali, že lze univerzální kvantový počítač sestrojit jen s pomocí kvantové teleportace, byli roku 1999 Gottesman and Chuang . Na jejich poznatky navázalo několik autorů s cílem snížit nároky na výpočetní zdroje. Tento přístup ve své nejefektivnější podobě vyžaduje dvouqubitová měření, přičemž jsou výsledky nedeterministické a výpočet tedy v některých případech skončí chybou. Mezitím byla v roce 2001 publikována přelomová práce Raussendorfa a Briegela , kteří navrhli alternativní design, kde je na počátku vytvořen jeden velký provázaný stav velkého množství qubitů a zbytek výpočtů sestává pouze z jednoqubitových měření. Integrální součástí designu jsou i korekce, čímž se chod počítače stává deterministický. Tento design vytlačil původní návrh do pozadí a v současné době se tak pojem na měření založené kvantové počítání často ztotožňuje právě s návrhem Raussendorfa a Briegela.

V průběhu následujících let se objevila zobecnění tohoto návrhu. Velkou měrou se zrelaxovaly nároky na počáteční provázaný stav či způsob, jak tento stav vytvořit. Byly studováno, jakou geometrii počáteční stav musí mít, aby umožnil skutečně deterministické provádění daného výpočtu. Dále došlo k prostudování procesu, jakým lze efektivně provádět korekce a zjednodušit či paralelizovat daný algoritmus . Důležitou roli hraje v kvantovém počítání oprava nahodilých chyb ve výpočtech. Této problematice se též věnovaly různé práce...

Ekvivalencí obou návrhů se věnovala značná pozornost...

Jednou z nejnadějnějších platforem, s níž lze sestrojit kvantový počítač na základě návrhu Raussendorfa a Briegela, představují optické čipy využívající jako nosičů informace fotony. Pro tuto platformy byly navrženy efektivní implementace využívající standardních nástrojů využívaných v optických laboratořích. fusion gates...

Stavební bloky

Ačkoliv se jednotlivá schémata pro provádění kvantových výpočtů s použitím měření liší, je většina z nich založena na několika totožných stavebních blocích a principech. Ty nejdůležitější jsou shrnuty níže.

Kvantové měření

Způsob, jakým lze z kvantového stavu částice či jiného systému získat informaci, je vystavení daného systému kvantovému měření. Oproti měření v klasické fyzice, kvantové měření prováděné na tomtéž kvantovém stavu dává obecně různé výsledky. Máme-li například foton, jehož polarizace se nachází ve stavu $|\psi \rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle +|1\rangle )$, a tento vystavíme měření v bázi $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$, tak máme padesátiprocentní šanci, že obdržíme výsledek 0, a padesátiprocentní šanci, že obdržíme výsledek 1. Procesu, který dává pokaždé různé výsledky, podobně jako právě zmíněné kvantové měření, se obecně nazývá deterministický.

Účelem počítačů je na základě vstupních dat uživateli vrátit nějaký smysluplný výsledek. Přirozeným požadavkem tedy je, aby byl takový výsledek pokaždé stejný na fixní vstupní data. Jinými slovy, od počítačů (většinou) požadujeme, aby prováděly deterministické výpočty. Jak tedy lze vůbec z principu sestrojit deterministický počítač s pomocí nedeterministických kvantových měření? Klíčem k vyřešení tohoto problému je to, že ačkoli dopředu není výsledek měření známý, ze získaného naměřeného výsledku víme, v jakém stavu se daná částice nachází po změření. Pokud tedy chceme implementovat hradlo, které na vstupní stav $|\psi \rangle$, zmíněný výše, vrátí pokaždé stav $|0\rangle$, lze toho docílit následovně:

1. Změř stav $|\psi \rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle +|1\rangle )$ v bázi $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$.
2. Pokud měření vrátí výsledek 0, nachází se nyní částice ve stavu $|0\rangle$ a jsme hotovi.
3. Pokud měření vrátí výsledek 1, aplikuj na částici dodatečnou operaci $\sigma _{X}$, jež zaměnuje vektory báze způsobem: $\sigma _{X}|0\rangle =|1\rangle$ a $\sigma _{X}|1\rangle =|0\rangle$. Tato operace převrátí stav $|1\rangle$ na kýžený stav $|0\rangle$.

V obou případech tak skončí částice ve stejném stavu $|0\rangle$, ve druhém případě je však nutno na částici aplikovat dodatečnou operaci. Takovýmto operacím se obecně říká korekce (anglicky corrections), popř. korekční operátory (anglicky correction operators) a blíže se jim věnuje samostatná kapitolka níže.

Kvantové provázání

Dvě a více částic či jiných fyzikálních systémů mohou sdílet jediný kvantový stav a měření na jednotlivých částicích pak vykazují silné korelace, to jest závislosti. Takovýmto význačným stavům více částic se říká kvantově provázané stavy. Máme-li dvojici kvantově provázaných částic a první z nich vystavíme kvantovému měření, zredukuje se stav druhé částice do jistého tvaru v závislosti na naměřeném výsledku. Ilustrujme si toto pozorování na konkrétním příkladu, kdy se na počátku dva qubity nacházejí ve stavu:

$|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0,0\rangle -|1,1\rangle )$.

Jak vidno, změříme-li první částici v bázi $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ a naměříme výsledek 0, je první částice ve stavu $|0\rangle$. Z tvaru provázaného stavu navíc plyne, že ve stavu $|0\rangle$ je i druhá částice. Podobnou situaci obdržíme pro výsledek 1. Zvolme si nyní ale obecnější bázi $\{|\varphi _{0}\rangle ,|\varphi _{1}\rangle \}$, která vznikne otočením vektorů báze $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ o úhel $\theta$. Při vystavení stavu $|\psi \rangle$ měření v této natočené bázi dostáváme dva možné výsledky:

• Výsledek "0", kdy se stav druhé částice dostane do tvaru:

$\langle \varphi _{0}|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )|1\rangle ).$

• Výsledek "1", kdy se stav druhé částice dostane do tvaru:

$\langle \varphi _{1}|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\sin(\theta )|0\rangle -\cos(\theta )|1\rangle ).$

Vidíme tedy, že pouhou volbou různé měřicí báze (např. různého úhlu $\theta$) pro první částici můžeme adaptivně měnit stav částice druhé. Na tomto principu je založeno samotné počítání. Zhruba řečeno, máme-li qubit v nějakém vstupním stavu, tento qubit nejprve provážeme s dalším qubitem. První qubit pak změříme ve vhodně zvolené bázi a tím se stav druhého qubitu dostane do výsledného stavu. Je-li výpočet složitější, což je skoro vždy, je nutno takto pospojovat více qubitů. Přenos informace s počátečního na výsledný qubit je přesně popsán v následující kapitolce.

Teleportace hradla

Podrobnější informace naleznete na stránce Kvantová teleportace.

OBRAZEK GATE TELEP.

Konkrétní způsob, na jehož základě lze provádět výpočty měřením, se nazývá teleportace kvantového hradla (anglicky quantum gate teleportation), což je zobecnění kvantové teleportace stavů. Pro teleportaci qubitu $A$ je nejprve nutno, aby odesílatel a příjemce sdíleli dvojici qubitů $B$ a $C$ nacházejících se v maximálně provázaném stavu $|\psi _{BC}\rangle$. Odesílatel pak změří svoje qubity $A$ a $B$ v bázi tvořené maximálně provázanými stavy a získá jeden ze čtyř možných výsledků 1 až 4. Tento výsledek je zaslán příjemci a ten na jeho základě na svůj qubit aplikuje jednu ze čtyř korekcí. Takto probíhá teleportace stavu.

Teleportace hradla využívá toho, že stav qubitu $C$ závisí nejen na korekci, ale i na tvaru stavu $|\psi _{BC}\rangle$. Uvažujme situaci, kdy na qubit $C$ před samotnou teleportací aplikujeme unitární operátor $U$. Maximálně provázaný stav qubitů $B$ a $C$ tak nabývá tvaru $|\psi _{BC}'\rangle =(\mathbb {I} \otimes U)|\psi _{BC}\rangle$. Použijeme-li nyní tento provázaný stav pro teleportaci stavu $|\psi _{A}\rangle$ qubitu $A$ od odesílatele k příjemci, nachází se po úspěšně provedené teleportaci qubit $C$ ve stavu $|\psi _{C}\rangle =U|\psi _{A}\rangle$. Teleportací jsme tak nejen přeposlali stav z qubitu $A$ na qubit $C$, ale současně jsme na tento stav i aplikovali unitární operaci $U$!

Přísně vzato, tento výsledek obdržíme jen tehdy, je-li korekce rovna identitě. V obecném případě, pokud odesílatel naměřil hodnotu $k$, je výsledný stav qubitu $C$ tvaru

$|\psi _{C}\rangle =P_{k}\,U\,V_{k}^{\dagger }\,|\psi _{A}\rangle$,

kde $P_{k}$ je odpovídající korekce a operátory $V_{k}$ jsou vedlejšími produkty teleportace, kterých se nelze zbavit. Abychom tedy nakonec skutečně obdrželi stav $|\psi _{C}\rangle =U|\psi _{A}\rangle$, je nutno korekce volit ve tvaru:

$P_{k}=U\,V_{k}\,U^{\dagger }$.

Tyto korekce je ale třeba aplikovat standardním způsobem, ne pomocí měření. Jak tedy zajistit, aby nebylo aplikování korekce ve skutečnosti složitější než přímá aplikace kýžené operace U? Existují různé způsoby, jak tento problém obejít, některé z nich jsou rozebrány v kapitolce "Korekce".

Jednobitová teleportace

Podrobnější informace naleznete na stránce Kvantová teleportace.

OBRAZEK ONE BIT TELEP.

Variací na výše zmíněný přístup je tak zvaná jednobitová teleportace (anglicky one-bit teleportation), což je protokol, který není přísně vzato teleportací, ale vykazuje v některých ohledech podobné chování. Místo tří qubitů máme k dispozici jen dva, kde první qubit $A$ má v držení odesílatel a druhý qubit $B$ sedí u příjemce a je inicializován do fixního stavu $|+\rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle +|1\rangle )$. Formálně lze tento protokol popsat tak, že oba qubity jsou nejprve provázány aplikací operátoru CNOT, první qubit je změřen a výsledek měření je použit pro volbu korekce na druhém qubitu. Po skončení protokolu je stav qubitu $A$ přenesen na stav qubitu $B$ za současné aplikace unitárního operátoru $U$. Hlavním rozdílem od teleportace hradla je to, že nyní musí odesílatel a přijemce společně aplikovat nelokální operaci CNOT a nestačí si tedy mezi sebou pouze zaslat klasickou zprávu, jako tomu je u teleportace.

DAT SEM, JAK Z ONE-BIT LZE UDELAT GATE TELEP.? VIZ JOZSA

Korekce

Jak přiblíženo v kapitolce "Teleportace hradla", výsledné korekce vzešlé z teleportace hradla mohou mít matematicky poněkud komplikovaný tvar. V případě teleportace stavů se ukazuje, že korekcemi jsou identita $\mathbb {I}$ a Pauliho operátory $\sigma _{X}$, $\sigma _{Y}$ a $\sigma _{Z}$. Pokud chceme teleportovat hradlo odpovídající unitární operaci $U$, která splňuje, že $U\,\sigma _{k}\,U^{\dagger }=\sigma _{m}$, pro nějaké $m\in \{X,Y,Z\}$, tak je výsledná korekce tvaru:

$P_{k}=U\,\sigma _{k}\,U^{\dagger }=\sigma _{m(k)}$,

kde $m=m(k)$ závisí na $k$. Jinými slovy, korekcí je opět Pauliho operátor, jako v případě teleportace stavů.

V konkrétním případě to pak může vypadat následovně: Řekněme, že chceme teleportovat hradlo $H$, což je dvourozměrný Hadamardův operátor tvaru:

$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$.

Tento operátor splňuje vztahy:

$H\,\mathbb {I} \,H^{\dagger }=\mathbb {I} ,\quad H\,\sigma _{X}\,H^{\dagger }=\sigma _{Z},\quad H\,\sigma _{Y}\,H^{\dagger }=-i\sigma _{Y},\quad H\,\sigma _{Z}\,H^{\dagger }=\sigma _{X}.$

Až na zanedbatelnou konstantu $-i$ u matice $\sigma _{Y}$ tak operátor $H$ splňuje podmínky zmíněné výše. Korekce tak mají v tomto konkrétním případě tvar:

$P_{1}=\mathbb {I} ,\quad P_{2}=\sigma _{Z},\quad P_{3}=-i\sigma _{Y},\quad P_{4}=\sigma _{X}.$

Unitárním operátorům $U$, které splňují podmínku

$U\,\sigma _{k}\,U^{\dagger }=c\,\sigma _{m},$

pro všechna $k\in \{X,Y,Z\}$ a jistá $m\in \{X,Y,Z\}$ a $c\in \{1,-1,i,-i\}$ se říká Cliffordovy operátory (anglicky Clifford operators). Formálně vzato, Pauliho operátory tvoří grupu $P$ označovanou jako Pauliho grupa (anglicky Pauli group). Pokud uvažujeme více než jeden qubit, pak je tato grupa tvořena tenzorovými součiny Pauliho operátorů. Cliffordovy operátory pak tvoří normalizátor Pauliho grupy chápané jako podgrupy unitárních operátorů. Tento normalizátor se nazývá Cliffordova grupa (anglicky Clifford group). Ukazuje se, že Cliffordova grupa je generována pouze třemi operacemi: CNOT, Hadamardův operátor $H$ a fázové hradlo tvaru $F=\mathrm {diag} (1,i)$.

Počítání založené na teleportaci

Historicky prvním přístupem k MBQC bylo využití kvantové teleportace. Máme-li na začátku vyjádřen kvantový algoritmus v podobě kvantového obvodu, lze každé hradlo v obvodu implementovat pomocí teleportace hradla. K tomu je zapotřebí dodatečných qubitů v maximálně provázaném Bellově stavu. ...

Tento přístup se v angličtině někdy nazývá teleportation quantum computation či teleportation-based quantum computation, což lze přeložit jako kvantové počítání založené na teleportaci či kvantové počítání teleportací. Hlavním rozdílem mezi tímto přístupem a jednosměrným počítačem je to, že na počátku máme qubity v separabilním stavu a pro konstrukci hradel využíváme dvouqubitová měření. Jednosměrný počítač naproti tomu na úplném začátku sestrojí velký provázaný stav mnoha qubitů a zbytek výpočtu pak probíhá pouze jednoqubitovými měřeními.

Jednosměrný počítač

Hlavní architekturou v oblasti kvantového počítání založeného na měření je tak zvaný jednosměrný kvantový počítač (anglicky one-way quantum computer), kde název odkazuje na fakt, že postupným měřením jednotlivých qubitů dojde k "přetrhání" kvantového provázání se zbytkem qubitů a nelze je tak opětovně použít. Základní myšlenka této architektury je velmi jednoduchá: na počátku výpočtu vytvoříme kvantový stav velkého množství qubitů, které jsou kvantově provázány do tvaru mřížky, a po zbytek výpočtu už jenom vystavujeme jeden qubit po druhém kvantovému měření. Na konci zbude jen několik dosud nezměřených qubitů a tyto nesou informaci o výsledku výpočtu. Alternativně lze změřit i tyto poslední qubity a získaná informace z jejich měření pak představuje výsledek.

Princip fungování

V jistém smyslu připomíná průběh výpočtu na jednosměrném počítači posloupnost kvantových teleportací, kde lze každý článek v posloupnosti chápat následovně: 1) Na začátku máme k dispozici provázaný stav, jehož jednu částici změříme. 2) Změřením se přenese informace z této částice na částici vedlejší. 3) Protože však může změření dát několik možných výsledků, je potřeba stav druhé částice poupravit v závislosti na výsledku získaném ze změření částice první. Tytéž tři kroky obsahuje i kvantová teleportace. Zřetězením této techniky je tak přesouvána informace ze vstupních qubitů skrz celou mřížku až k výstupním qubitům. Současně je tato informace upravována v závislosti na zvoleném algoritmu. Protože je výsledek každého měření náhodný (náhodnost plyne ze zákonů kvantové mechaniky a nelze ji odstranit), je potřeba po každém měření zkorigovat výsledný stav zbylých qubitů, aby se dalo v zadaném algoritmu pokračovat. Toho je docíleno tak, že se za běhu programu přepočítává tvar báze, ve které jsou zbylé qubity změřeny. Formálně lze tuto techniku chápat jako vkládání dodatečných Pauliho operátorů do probíhajícího výpočtu. Anglicky se této technice říká feed-forward (dopředná vazba).

Pro konkrétnost si lze do jisté míry představit fungování jednosměrného počítače na následujícím zjednodušeném diagramu, který se nazývá jednobitová teleportace (anglicky one-bit teleportation).

DODAT DIAGRAM PRO ONE-BIT TELEP. a dodat odpovidajici komentar

Počáteční stav

Počáteční stav jednosměrného počítače se nazývá klastrový stav (anglicky cluster state) či též grafový stav (anglicky graph state). Název grafový stav vychází z toho, že si lze tento stav představit tak, že máme na počátku jistý graf s vrcholy spojenými hranami, kde na každém vrcholu sedí jeden qubit a qubity jsou spolu kvantově provázany tak, jak udávají odpovídající hrany grafu. Obyčejně se za takový graf bere pravidelná dvourozměrná mřížka, na jejímž levém okraji jsou vstupní qubity nesoucí ve svém stavu vstupní data a na okraji pravém pak čekají výstupní qubity, které po skončení výpočtu nesou výsledný stav odpovídající výstup výpočtu.

DÁT SEM OBRÁZEK GRAFU... A CLUSTER STATE WITH 2D GRID...

Formálně lze klastrový stav vytvořit tak, že všechny připravené qubity inicializujeme do stavu $|+\rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle +|1\rangle )$ a na každý pár qubitů, který je v mřížce propojen hranou, aplikujeme operaci $\mathrm {CZ}$, jejíž akce na dvojici qubitů zní: $\mathrm {CZ} |0,0\rangle =|0,0\rangle$, $\mathrm {CZ} |0,1\rangle =|0,1\rangle$,$\mathrm {CZ} |1,0\rangle =|1,0\rangle$, $\mathrm {CZ} |1,1\rangle =-|1,1\rangle$.

Klastrový stav lze popsat i pomocí sady speciálních operátorů zvaných stabilizátory, a to tak, že klastrový stav je společný vlastní vektor sady stabilizátorů pro fixní vlastní číslo. Matematický aparát stabilizátorů je náročný, s jeho pomocí lze nicméně kompaktně popsat složité chování jednosměrného počítače, vezmou-li se v potaz i dodatečné korekce.

...po změření sigma Z je výsledný stav stále klastrový stav

...lineární klastrový stav není univerzální, protože ho lze simulovat efektivně klasicky

několik způsobů, jak chápat výpočet na jednosměrném počítači:

• Vstupy i výstupy klasické -- vstupní data se zakódují do klastru, měření na výstupních qubitech se reinterpretují
• Vstupy klasické a výstupy kvantové -- vstupní data se zakódují do klastru, na výstupní qubity jsou aplikovány korekce
• Vstupy kvantové a výstupy klasické -- klastr je vytvořen tak, že vstupní qubity jsou ve svém stavu a zbylé qubity jsou inicializovány do plus stavu, poté jsou všechny qubity provázány. Výstupní qubity jsou změřeny atd.
• Vstupy i výstupy kvantové -- dtto...

Jednoqubitová měření

TODO tvar měřicí báze a odpovídající korekce

v MBQC není identické zobrazení triviální operace: abychom přesunuli stav z jednoho fyzického qubitu na druhý, je nutno provést několik kroků zahrnujících měření.

logický vs. fyzický qubit... měřením sigma Z se prakticky vyjme daný qubit z klastru přesunutí po drátě lze provést měřením sigma X

Korekce

TODO Klasický post-processing jak lze všechny korekce hodit až na konec

dva druhy korekcí: u cliffordových operací zůstávají operace netknuté, ale mění se Pauliho korekce; u zbylých operací je třeba změnit znaménko úhlu, který udává měřicí bázi. V takovém případě zůstávají Pauliho korekce totožné. Je třeba tak udržovat přehled jednak o znaménkách rotací, jednak o mocnině u Pauliho operátoru...

Srovnání s kvantovými obvody

TODO srovnání s quantum circuits s použitím obrázků ukazat ekvivalenci obou pristupu, jak jit z circuit do one-way i naopak

Druhy výpočtů

Operace s Cliffordovy grupy lze počítat efektivně (nehledě na to, že takovéto operace lze efektivně simulovat na klasickém počítači) - stačí pouze jedno kolo měření všech qubitů a výpočet je hotov.

Všechny operace z Cliffordovy grupy lze navíc v obecném algoritmu změřit jako první, protože nemají žádné závislosti. Bez újmy na obecnosti lze měřit výstupní qubity v bázi sigma Z. Výstupní qubity jsou tedy jedněmi z prvních qubitů, které jsou změřeny, ne ty poslední!!!

Efektivnější implementace některých operací, než je možné pomocí kvantových obvodů... paralelizace...

Příklad

TODO uvést konkrétní příklad s jednotlivými kroky

Zobecnění

fault tolerant version...

Alternativní přístupy

Za dobu své existence došlo i k zavedení modelů počítání, které vycházejí z jednosměrného počítače, zmiňme především ...fusion gates...

Odkazy

Literatura

• BROWNE, Dan E.; BRIEGEL, Hans J. One-way Quantum Computation - a tutorial introduction. arxiv.org. 2006. Dostupné online [cit. 2023-08-08]. DOI 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/0603226. 
• RAUSSENDORF, Robert; BRIEGEL, Hans. Computational model underlying the one-way quantum computer. arxiv.org. 2001. Dostupné online [cit. 2023-08-08]. DOI 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/0108067. 
• BRIEGEL, H. J.; BROWNE, D. E.; DÜR, W. Measurement-based quantum computation. Nature Physics. 2009-01, roč. 5, čís. 1, s. 19–26. Dostupné online [cit. 2023-08-03]. ISSN 1745-2481. DOI 10.1038/nphys1157. (anglicky) 
• JOZSA, Richard. An introduction to measurement based quantum computation. arxiv.org. 2005. Dostupné online [cit. 2023-08-08]. DOI 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/0508124. 
• LEUNG, Debbie W. Quantum computation by measurements. International Journal of Quantum Information. 2004-03, roč. 02, čís. 01, s. 33–43. Dostupné online [cit. 2023-08-10]. ISSN 0219-7499. DOI 10.1142/S0219749904000055. (anglicky) 

Související články

• Počítání
• Kvantový počítač
• Kvantový obvod
• Kvantová informatika
• Kvantové měření
• Kvantové provázání
• Kvantová teleportace
• Klastrový stav
• Pauliho operátor
• Cliffordova grupa