Wikipedista:58appank/Pískoviště

Knudsenovo číslo je podobnostní číslo charakterizující proudění plynů . Je definováno podílem střední volné dráhy molekul plynu, $\lambda$, která představuje průměrnou vzdálenost, jež urazí molekuly plynu mezi dvěma po sobě následujícími sražkami, a charakteristické délky, $L$, jež představuje typickou vzdálenost, na které je sledována změna veličin souvisejících s prouděním plynu (např. šířka kanálu, kterých protéká plyn, velikost vírů u turbulentního proudění, šířka mezní vrstvy u obtékaných těles, šířka rozhraní u rázové vlny atp.). Pokud je Knudsenovo číslo malé v porovnání s jedničkou, lze plyn popisovat jako spojité prostředí, charakterizované v každém bodě příslušnou hustotou, rychlostí proudění, tlakem či teplotou. Pro Knudsenovo čislo větší něž 10, lze , Číslo je pojmenováno po dánském fyziku Martinu Knudsenovi (1871–1949).

tj. průměrné dráhy, kterou urazí molekuly plynu mezi dvěma srážkami

Bettiho věta o vzájemnosti prací je jednou ze základních vět lineární teorie pružnosti. Udává vztah mezi zatížením a posuvy tělesa v místě působícího zatížení pro dva různé zátěžné stavy. Pomocí této věty je tak možné na základě známého řešení problému lineární teorie pružnosti pro jeden zátěžný stav nalézt řešení stejného typu problému pro jiný zátěžný stav. Věta je pojmenována po italském matematiku Enricu Bettim.

Formulace

Při působení dvou různých silových soustav zatížení na lineárně pružné těleso, které je při působením každé z těchto soustav v klidu, platí, že práce první soustavy na posuvech vyvolaných druhou soustavou zatížení je totožná práci druhé soustavy na posuvech vyvolaných první soustavou zatížení, tj. platí

:

( $\int _{S}{\vec {t^{A}}}\cdot {\vec {u^{B}}}\;\mathrm {d} S+\int _{V}{\vec {b^{A}}}\cdot {\vec {u^{B}}}\;\mathrm {d} V=\int _{S}{\vec {t^{B}}}\cdot {\vec {u^{A}}}\;\mathrm {d} S+\int _{V}{\vec {b^{B}}}\cdot {\vec {u^{A}}}\;\mathrm {d} V\,,$ )

kde ${\vec {t^{A}}}$ a ${\vec {b^{A}}}$ jsou vektory plošného a objemového zatížení soustavy zatížení $\left\{{\vec {t^{A}}},{\vec {b^{A}}}\right\}$, která vyvolává posuvy ${\vec {u^{A}}}$, a kde ${\vec {t^{B}}}$ a ${\vec {b^{B}}}$ jsou vektory plošného a objemového zatížení soustavy zatížení $\left\{{\vec {t^{B}}},{\vec {b^{B}}}\right\}$, která vyvolává posuvy ${\vec {u^{B}}}$.

Důkaz

Rovnice (1) má ve složkovém zápisu v Einsteinově notaci tvar

:

( $\int _{S}t_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{S}t_{i}^{B}u_{i}^{A}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{B}u_{i}^{A}\;\mathrm {d} V$ )

Levou stranu rovnice lze upravit s pomocí vztahu mezi vektorem plošného zatížení a tenzorem napětí a dále s pomocí Gaussovy-Ostrogradského věty do podoby

${\begin{aligned}\int _{S}t_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V&=\int _{S}\sigma _{ij}^{A}n_{j}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{V}\left[(\sigma _{ij}^{A}u_{i}^{B})_{,j}+b_{i}^{A}u_{i}^{B}\right]\;\mathrm {d} V\\&=\int _{V}\left[\left(\sigma _{ij,j}^{A}+b_{i}^{A}\right)u_{i}^{B}+\sigma _{ij}^{A}u_{i,j}^{B}\right]\mathrm {d} V\end{aligned}}$

Pro těleso, které se nachází v klidu, platí, že výslednice všech sil působících na těleso musí být nulová, tj.

$\int _{S}{\vec {t^{A}}}\;\mathrm {d} S+\int _{V}{\vec {b^{A}}}\;\mathrm {d} V\equiv \int _{S}t_{i}^{A}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}\mathrm {d} V=\int _{S}\sigma _{ij}^{A}n_{j}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{V}\left(\sigma _{ij,j}^{A}+b_{i}^{A}\right)\;\mathrm {d} V=0$

a pokud je každá jeho část v klidu, pak musí také platit

$\sigma _{ij,j}^{A}+b_{i}^{A}=0$

což jsou rovnice rovnováhy nekonečně malého elementu tělesa. Odtud

${\begin{aligned}\int _{S}t_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V&=\int _{V}\sigma _{ij}^{A}u_{i,j}^{B}\mathrm {d} V=\int _{V}{\frac {1}{2}}\sigma _{ij}^{A}\left(u_{i,j}^{B}+u_{j,i}^{B}\right)\mathrm {d} V=\int _{V}\sigma _{ij}^{A}\varepsilon _{ij}^{B}\mathrm {d} V\end{aligned}}$

kde $\varepsilon _{ij}^{B}$ je tenzor inženýrských (malých) přetvoření. Při přechodu od derivací posuvu k tenzoru přetvoření byla využita symetrie tenzoru napětí. Za předpokladu platnosti Hookeova zákona, který popisuje vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem přetvoření - platí přímá úměrnost (přepoklad lineární teorie pružnosti), a s využitím symetrie tenzoru tuhosti $C_{ijkl}$ platí

$\int _{S}t_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{V}\sigma _{ij}^{A}\varepsilon _{ij}^{B}\mathrm {d} V=\int _{V}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}^{A}\varepsilon _{ij}^{B}\mathrm {d} V=\int _{V}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}^{B}\varepsilon _{ij}^{A}\mathrm {d} V$

Poslední člen předešlé rovnice lze dostat identickými úpravami pravé strany rovnice (2), a tím pádem je dokázána i její platnost. Užití Hookeova zákona společně s integrací na referenční konfiguraci tělesa, společné pro oba zátěžné stavy, omezuje platnost věty na případy malých přetvoření a malých rotací tělesa.

Maxwellova věta o vzájemnosti posuvů

Speciálním případem Bettiho věty o vzájemnosti prací je Maxwellova věta o vzájemnosti posuvů zformulovaná J. C. Maxwellem. Věta tvrdí, že zatíží-li se lineárně pružného těleso v místě A jednotkovou silou ${\vec {e^{A}}}$ a v místě B jednotkovou silou ${\vec {e^{B}}}$, pak posuv ${\eta _{AB}}$ v místě B ve směru síly ${\vec {e^{B}}}$ vyvolaný silou ${\vec {e^{A}}}$, je roven posuvu ${\eta _{BA}}$ v místě A ve směru síly ${\vec {e^{A}}}$ vyvolaný silou ${\vec {e^{B}}}$.

Toto tvrzení odpovídá Bettiho větě, když se uváží, že osamělou sílu je možné nahradit staticky ekvivalentním objemovým zatížením, které působí v limitě nekonečně malém objemu tělesa, a pokud se obecné zátěžné soustavy $\left\{{\vec {t^{A}}},{\vec {b^{A}}}\right\}$ a $\left\{{\vec {t^{B}}},{\vec {b^{B}}}\right\}$ nahradí dvěma osamělými silami jednotkové velikosti $\left\{{\vec {e^{A}}}\right\}$ a $\left\{{\vec {e^{B}}}\right\}$, takže rovnice (1) přejde do tvaru

:

( ${\vec {e^{A}}}\cdot {\vec {u^{B}}}={\eta _{AB}}={\eta _{BA}}={\vec {e^{B}}}\cdot {\vec {u^{A}}}$ )

přičemž pro ${\eta _{AB}}$ a ${\eta _{BA}}$ se užívá označení příčníkové součinitele.

Zobecnění

Platnost Bettiho věty o vzájemnosti prací lze rozšířit na tělesa, která nejsou v klidu, pokud se do objemového zatížení zahrnou setrvačné síly, tj. platí

:

( $\int _{S}t_{i}^{A}u_{i}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}\left(b_{i}^{A}-\rho {\ddot {u}}_{i}^{A}\right)u_{i}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{S}t_{i}^{B}u_{i}^{A}\;\mathrm {d} S+\int _{V}\left(b_{i}^{B}-\rho {\ddot {u}}_{i}^{B}\right)u_{i}^{A}\;\mathrm {d} V$ )

Tato rovnice platí pro jakékoliv počáteční podmínky a platí i v případě, že se zatížení $t_{i}^{A}$, $b_{i}^{A}$ a příslušné pole posuvů $u_{i}^{A}$ vztahují k jinému okamžiku než $t_{i}^{B}$, $b_{i}^{B}$ a $u_{i}^{B}$.

Konkrétně, pokud se se zatížení $t_{i}^{A}$, $b_{i}^{A}$ a příslušné pole posuvů $u_{i}^{A}$ vztahují k času $\tau$ a $t_{i}^{B}$, $b_{i}^{B}$ a $u_{i}^{B}$ se vztahují k okamžiku $\tau _{0}-\tau$, kde $\tau _{0}$ je libovolně zvolená konstanta, pak musí platit i rovnice

${\begin{aligned}&\int _{S}\left[t_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-t_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} S+\int _{V}\left[b_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-b_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} V=\\&=\int _{V}\rho \left[{\ddot {u}}_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-{\ddot {u}}_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} V\end{aligned}}$

a také rovnice

:

( ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\tau _{0}}\left\{\int _{S}\left[t_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-t_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} S+\int _{V}\left[b_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-b_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} V\right\}\;\mathrm {d} \tau =\\&=\int _{0}^{\tau _{0}}\left\{\int _{V}\rho \left[{\ddot {u}}_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-{\ddot {u}}_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} V\right\}\;\mathrm {d} \tau \equiv \int _{V}\left\{\rho \int _{0}^{\tau _{0}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[{\dot {u}}_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )+{\dot {u}}_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} \tau \right\}\;\mathrm {d} V\end{aligned}}$ )

která musí platit nezávisle na volbě integračních mezí.

Pokud platí, že celé těleso je v klidu až do okamžiku $\tau =0$, tj. platí

$u_{i}^{A}=u_{i}^{B}={\dot {u}}_{i}^{A}={\dot {u}}_{i}^{B}=0\qquad$pro $\tau \leq 0$

pak pravá strana rovnice (5) je rovna nule, neboť

$\int _{0}^{\tau _{0}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[{\dot {u}}_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )+{\dot {u}}_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} \tau =u_{i}^{A}(\tau _{0})u_{i}^{B}(0)+{\dot {u}}_{i}^{B}(0)u_{i}^{A}(\tau _{0})-{\dot {u}}_{i}^{A}(0)u_{i}^{B}(\tau _{0})-{\dot {u}}_{i}^{B}(\tau _{0})u_{i}^{A}(0)=0$

Rovnice (5) pak pro $\tau _{0}\to \infty$ přejde do tvaru

:

( $\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\int _{S}\left[t_{i}^{A}(\tau )u_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )-t_{i}^{B}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{A}(\tau )\right]\;\mathrm {d} S\right\}\;\mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\int _{V}\left[b_{i}^{B}(\tau )u_{i}^{A}(\tau _{0}-\tau )-b_{i}^{A}(\tau _{0}-\tau )u_{i}^{B}(\tau )\right]\;\mathrm {d} V\right\}\;\mathrm {d} \tau$ )

a s pomocí operátoru konvoluce do tvaru

:

( $\int _{S}\left[t_{i}^{A}*u_{i}^{B}-t_{i}^{B}*u_{i}^{A}\right]\;\mathrm {d} S=\int _{V}\left[b_{i}^{B}*u_{i}^{A}-b_{i}^{A}*u_{i}^{B}\right]\;\mathrm {d} V$ )

Příklady užití

Protažení tyče zatížené dvěma proti sobě působícími silami na společné nositelce kolmé k ose tyče

Ilustrace k výpočtu protažení tyče: a) řešená úloha, b) pomocná úloha.

Osamělé síly si lze představit jako plošné zatížení působící na velmi malé ploše, kde lze uvažovat konstantní velikost posuvu, a tudíž lze využít vztahu (1). K určení neznámého prodloužení tyče je pak potřebné znát posuv v příčném směru vyvolaný známým (jednoduchým) pomocným zatížením. V daném případě lze zvolit rovnoměrné normálové plošné zatížení na koncích tyče, $\sigma ^{B}$, které vyvolá zúžení tyče, jež lze určit z Hookeova zákona pro jednoosé zatížení, tj.

$F^{A}\cdot u^{B}=F^{A}\cdot \left({\frac {\nu \cdot \sigma ^{B}}{E}}\cdot h\right)=\int _{S}\sigma ^{B}\cdot u^{A}\;\mathrm {d} S=\sigma ^{B}\int _{S}u^{A}\;\mathrm {d} S=\sigma ^{B}\cdot {\overline {u^{A}}}\cdot S$

kde $F^{A}$ je velikost dvojice příčných sil, ${\overline {u^{A}}}$ je průměrné prodloužení tyče vyvolané těmito silami, $u^{B}$ je zúžení tyče vyvolané tahovým zatížením $\sigma ^{B}$ na koncích tyče a $\nu$ je Poissonův poměr.

Odtud pak pro průměrné prodloužení tyče v důsledku zatížení dvojicí sil $F^{A}$ platí

${\overline {u^{A}}}=F^{A}\cdot {\frac {\nu }{E}}\cdot {\frac {h}{S}}$

Pokud má tyč kruhový průřez, pak platí

${\overline {u^{A}}}={\frac {2F^{A}}{\pi R}}\cdot {\frac {\nu }{E}}$

kde $R$ je poloměr průřezu.

Změna objemu tělesa zatížené dvěma silami proti sobě působícími na společné nositelce

Ilustrace k výpočtu změny objemu tělesa: a) řešená úloha, b) pomocná úloha

Pomocným zatížením, které je možno použít k řešení této úlohy, je všestranné tlakové zatížení $p^{B}$ - viz obr . Rovnice (1) nabývá tvar

$F^{A}\cdot u^{B}=F^{A}\cdot \left(-{\frac {\left(1-2\nu \right)\cdot p^{B}}{E}}\cdot L\right)=\int _{S}p^{B}{\vec {n}}\cdot {\vec {u^{A}}}\;\mathrm {d} S=p^{B}\int _{V}\mathrm {div} \;{\vec {u^{A}}}\;\mathrm {d} V=p^{B}\int _{V}{\frac {\mathrm {d} \Delta V^{A}}{\mathrm {d} V}}\;\mathrm {d} V=p^{B}\cdot \Delta V^{A}\,,$

kde

$-{\frac {\left(1-2\nu \right)\cdot p^{B}}{E}}$

je, dle Hookeova zákona, délkové přetvoření vyvolané všestranným tlakovým zatížením $p^{B}$, $L$ je vzdálenost mezi působišti sil $F^{A}$, ${\vec {n}}$ je jednotkový vektor normály a $\Delta V^{A}$ je hledaná změna objemu.

Pro tu pak platí výsledný vztah

$\Delta V^{A}=-F^{A}\cdot {\frac {\left(1-2\nu \right)}{E}}\cdot L\,.$

Natočení konce vetknutého nosníku namáhaného silou působící kolmo k ose nosníku

Ilustrace k výpočtu natočení konce nosníku: a) řešená úloha, b) pomocná úloha

Problém lze řešit s využitím pomocného řešení problému průhybu nosníku způsobeného ohybovým momentem, který působí na konci nosníku. Pak totiž platí

$F^{A}\cdot u^{B}=M^{B}\cdot \phi ^{A}$

neboť ohybový moment lze nahradit dvojicí sil ${\vec {F_{M1}^{B}}}=-{\vec {F_{M2}^{B}}}$ působících na čele nosníku ve vzdálenosti $r$, přičemž na posuvech vyvolaných silou $F_{A}$ vykonají práci

$-F_{M1}^{B}\cdot u_{F_{M1}}^{A}+F_{M2}^{B}\cdot (u_{F_{M1}}^{A}+r\cdot \phi ^{B})=F_{M2}^{B}\cdot r\cdot \phi ^{B}=M^{B}\cdot \phi ^{B}$

Průhyb vetknutého nosníku zatíženého na konci ohybovým momentem lze dle Eulerovy-Bernoulliho i Timošenkovy teorie ohybu nosníku vyjádřit vztahem

$u^{B}=-{\frac {M^{B}x^{2}}{2EI}}$

kde $x$ je vzdálenost od vetknutého konce nosníku a $I$ je kvadratický moment průřezu nosníku (geometrická charakteristika). Odtud

$-F^{A}\cdot {\frac {M^{B}x^{2}}{2EI}}=M^{B}\cdot \phi ^{B}$

a pro natočení na konci nosníku pak platí

$\phi ^{B}=-{\frac {F^{A}\cdot x^{2}}{2EI}}$

Tento vztah platí pro libovolnou vzdálenost působiště síly od vetknutého konce nosníku $x\in \langle 0,L\rangle$.

Metoda okrajových prvků

Ilustrace k odvození integrální rovnice řešené pomocí metody okrajových prvků: a) řešená úloha, b) pomocná úloha vycházející ze znalosti deformace a napjatosti nekonečného prostoru při zatížení osamělou (jednotkovou) silou.

Bettiho věta může být použita k odvození integrální rovnice, která je základem pro řešení úloh lineární teorie pružnosti pomocí metody okrajových prvků. Pomocnou úlohou, pro kterou je známá deformace a najatost tělesa libovolného tvaru při zatížení v libovolném místě tělesa (a tudíž je zde pak možné stanovit i posuvy pomocí Bettiho věty), je úloha stanovit deformaci a napjatost nekonečného prostoru při zatížení osamělou silou. Pro jednotkovou sílu $e_{j}^{B}$ působící v bodě $x\prime$ jsou tedy známé řešení pro posuvy

$u_{i}^{B}(x)=U_{ij}^{B}(x\prime ,x)e_{j}^{B}$

a plošné zatížení

$t_{i}^{B}(x)=T_{ij}^{B}(x\prime ,x)e_{j}^{B}$

v libovolném bodě na povrchu tělesa $x$, které si lze představit jako podoblast nekonečného prostoru. Nahradí-li se jednotková síla objemovým zatížením působícím v limitně nekonečně malém objemu tělesa, tj.

$b_{i}^{B}(x^{\prime })=e_{i}^{B}\cdot \delta (x-x^{\prime })$

kde $\delta$ je Diracova funkce, obecně pro trojrozměrný prostor, pak rovnici (2) lze přepsat do tvaru

$\int _{S}t_{i}^{A}(x)U_{ij}^{B}(x\prime ,x)e_{j}^{B}\;\mathrm {d} S+\int _{V}b_{i}^{A}(x)U_{ij}^{B}(x\prime ,x)e_{j}^{B}\;\mathrm {d} V=\int _{S}T_{ij}^{B}(x\prime ,x)e_{j}^{B}u_{i}^{A}(x)\;\mathrm {d} S+\int _{V}\delta (x-x\prime )e_{i}^{B}u_{i}^{A}(x)\;\mathrm {d} V$

respektive pro libovolný bod uvnitř tělesa

:

( $u_{i}^{A}(x\prime )=\int _{S}U_{ij}^{B}(x\prime ,x)t_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} S+\int _{V}U_{ij}^{B}(x\prime ,x)b_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} V-\int _{S}T_{ij}^{B}(x\prime ,x)u_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} S$ )

přičemž zde bylo využito vlastností Diracovy funkce a skalárního součinu. Rovnice (8) je integrální rovnicí vyjadřující vztah mezi posuvy v určitém bodě uvnitř tělesa a zatížením a posuvy na okraji tělesa a označuje se jako Somiglianova identita pro posuvy.

Pokud je hledáno řešení pro posuvy na okraji tělesa, pak místo rovnice (8) je nutné použít rovnici ve tvaru

:

( $c(x\prime )u_{i}^{A}(x\prime )=\int _{S}U_{ij}^{B}(x\prime ,x)t_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} S+\int _{V}U_{ij}^{B}(x\prime ,x)b_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} V-\int _{S}T_{ij}^{B}(x\prime ,x)u_{j}^{A}(x)\;\mathrm {d} S$ )

kde $c(x\prime )$ představuje podíl (limitně nekonečně malého) objemu koule, ve které působí objemové zatížení $b_{i}^{B}(x^{\prime })$, který je součástí tělesa (a tudíž koná práci na posuvech tělesa), k celkovému objemu této (limitně nekonečně malé) koule.

Princip metody okrajových prvků spočívá v diskretizaci povrchu tělesa a hledání řešení rovnice (9) ve formě součinu známých jednoduchých funkcí definovaných na jednotlivých podoblastech hranice tělesa a neznámých koeficientů v uzlech diskretizační sítě na povrchu tělesa. Pokud by na těleso nepůsobilo objemové zatížení, pak v rovnici (9) jsou pouze plošné integrály, a tudíž původně trojrozměrná úloha se zredukuje na úlohu dvojrozměrnou, v čemž spočívá přednost metody okrajových prvků. Pokud na těleso působí objemové zatížení, je potřeba numericky integrovat objemový integrál (nutná diskretizace objemu tělesa), nicméně počet neznámých tím není ovlivněn.

Stanovení součinitele intenzity napětí pomocí váhové funkce

Napjatost na čele trhliny v lineárně elastickém izotropním materiálu je jednoznačně určena pomocí tří součinitelů koncentrace napětí, které charakterizují tři navzájem nezávislé charakteristické způsoby(módy) zatížení trhliny - tahové zatížení kolmé k rovině trhliny (mód I), smykové zatížení ve směru trhliny (mód II) a smykové zatížení rovnoběžné s čelem trhliny (mód III). Jsou-li tedy pro těleso s trhlinou hodnoty těchto součinitelů intenzity napětí známé, lze posuzovat chování trhliny. Součinitele intenzity závisí na charakteristickém (vzdáleném) napětí $\sigma _{ij}^{*}$, velikosti trhliny $a$ a tvarovém součiniteli $Y$, jež závisí na geometrii tělesa, velikosti a tvaru trhliny a rozložení napětí v tělese:

$K_{\mathrm {I} }=\sigma _{yy}^{*}{\sqrt {\pi a}}Y_{\mathrm {I} }\qquad K_{\mathrm {II} }=\sigma _{xy}^{*}{\sqrt {\pi a}}Y_{\mathrm {II} }\qquad K_{\mathrm {III} }=\sigma _{yz}^{*}{\sqrt {\pi a}}Y_{\mathrm {III} }$

Při růstu trhliny se klesá potenciální energie tělesa, kterou je v případě lineárně pružného materiálu lze s pomocí Clapeyronovy věty vyjádřit jako polovinu práce vnějšího zatížení (na lících trhliny), tedy

${\displaystyle }$

https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?id=mdp.39015046059849;view=2up;seq=5;q1=Helmholtz;start=1;sz=10;page=search;orient=0 weight funct:

Historie

Speciální případ Bettiho věty o vzájemnosti prací byl odvozen a použit J. C. Maxwellem v roce 1864 při řešení problému namáhání staticky neurčité příhradové konstrukce. Maxwell navrhl postup, jak pomocí nahrazení prvků konstrukce způsobujících statickou neurčitost pomocí sil, lze zvlášť určit deformaci staticky určité konstrukce a deformaci uvolněných .....

Žuravského vztah je vztah umožňující přibližně určit velikost smykového napětí působícího po průřezu ohýbaného nosníku s neproměnným štíhlým průřezem. Vztah je pojmenován po ruském inženýrovi Dmitriji Ivanoviči Žuravském, který jeho variantu pro nosník s obdélníkovým průřezem publikoval v roce 1855.

Vztah se obvykle uvádí v podobě platné pro ohyb nosníku s osově symetrickým průřezem, který je ohýbán v rovině symetrie

$\tau (x,z)={\frac {Q(x)U(z)}{b(z)I}}\,,$

kde $\tau (z)$ je průměrné smykové napětí působící v příčném řezu nosníku ve vzdálenosti $z$ od (neutrálné) osy, která prochází těžištěm průřezu a je kolmá na osu symetrie nosníku, $Q$ je posouvající (příčná, smyková) síla přenášená daným řezem nosníku a působí ve směru osy symetrie průřezu, $U$ je první moment plochy části průřezu mezi vnějším obrysem průřezu nosníku a přímkou ve vzdálenosti $z$ od těžiště průřezu; moment je vyjádřen k ose $z=0$, $b(z)$ je šířka průřezu ve vzdálenosti $z$ od těžiště průřezu a $I$ je kvadratický moment plochy průřezu k ose $z=0$.

Pro posouvající sílu $Q$ musí platit Schwedlerova věta, tj. posouvající sílu musí být spjata se změnou velikosti ohybového momentu po délce nosníku. Pokud tato podmínka není splněna, užití Žuravského vztahu vede k chybnému určení velikosti smykového napětí.

Odvození

Žuravského vztah vyplývá z podmínky statické rovnováhy elementu ohýbaného nosníku, vymezeného dvěma nekonečně blízkými příčnými řezy nosníku a řezem rovinou kolmou k ose symetrie průřezů nosníku - viz obr. . :

Na straně elementu příslušející příčnému řezu nosníku působí dle Eulerovy-Bernoulliho teorie ohybu nosníku normálové napětí úměrné vzdálenosti od (neutrálné) osy průřezu nosníku, která prochází těžištěm průřezu a je kolmá na osu symetrie průřezu

$\sigma (x,z)=z{\frac {M(x)}{I}}\,,$

kde $M(x)$ je ohybový moment.

Pro velikost normálových sil působících na stranách elementu příslušejících příčným řezům nosníku platí

$n_{x}(x,z)=\iint _{\Omega }\sigma (x,z){d}\Omega =\int _{z}^{h_{2}}\sigma (\zeta )b(\zeta )\mathrm {d} \zeta =\int _{z}^{h_{2}}\zeta {\frac {M(x)}{I}}b(\zeta )\mathrm {d} \zeta ={\frac {M(x)}{I}}\int _{z}^{h_{2}}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta ={\frac {M(x)U(z)}{I}}$

$n_{x}(x+\mathrm {d} x,z)=n_{x}(x,z)+{\frac {\partial n_{x}(x,z)}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {M(x)U(z)}{I}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {M(x)U(z)}{I}}\right)\mathrm {d} x={\frac {M(x)U(z)}{I}}+{\frac {U(z)}{I}}\mathrm {d} M$

Aby byla splněna podmínka silové rovnováhy ve směru osy nosníku, musí v případě, že ohybový moment není po délce nosníku konstantní, působit na straně elementu příslušející horizontálnímu řezu, působit smyková síla $t_{x}$

$t_{x}=n_{x}(x+\mathrm {d} x,z)-n_{x}(x,z)={\frac {U(z)}{I}}\mathrm {d} M$

Průměrné smykové napětí působící na horizontální straně elementu pak lze vyjádřit

${\overline {\tau }}(x,z)={\frac {t_{x}}{b(z)\mathrm {d} x}}={\frac {U(z)}{I}}{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}$

S použitím Schwedlerovy věty

$Q={\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}$

lze vztah pro pro napětí ${\overline {\tau }}(x,z)$ působící na horizontální straně elementu vyjádřit v konečném tvaru

${\overline {\tau }}(x,z)={\frac {Q(x)U(z)}{b(z)I}}$

Pokud je průřez nosníku štíhlý, tj. smykové napětí působí převážně ve směru osy symetrie průřezu a je přibližně rovnoměrně rozloženo po průřezu, platí

$\tau (x,z)\approx {\overline {\tau }}(x,z)$

Pro osu $z=0$, která prochází těžištěm, musí platit

$0=\int _{-h_{1}}^{h_{2}}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta =\int _{-h_{1}}^{z}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta +\int _{z}^{h_{2}}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta =\int _{z}^{h_{1}}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta +\int _{z}^{h_{2}}\zeta b(\zeta )\mathrm {d} \zeta$

$I=\int _{-h_{1}}^{h_{2}}$

Historie

Původní varianta Žuravského vztahu byla publikované v příloze k Žurovského práci o mostních konstrukcích ze složených nosníků dle Howea, která vycházela na pokračování v letech 1850-1855 v časopise Žurnal Glavnoju upravlenija putěj soobščenija i publičnych zdanij (Журнал Главною управления путей сообщения и публичных зданий) . Ve francouzštině vyšla tato příloha, rozšířená o předmluvu a kapitolu ze čtvrté části původní publikace, jako samostatná publikace v roce 1855 a v roce 1856, bez dodatečných částí, jako článek v časopise Annales des ponts et chaussées.

Žuravski se zabýval pevností nosníků, přičemž na základě porovnání ohybu dvou na sobě položených nosníků a ohybu nosníku, který by vznikl jejich spojením, usoudil, že pro pevnost nosníku je podstatná odolnost nosníku proti působení horizontálního smykového zatížení. Proto následně odvodil vztah pro velikost vodorovné síly, kterou musí být nosník vetknutý na jedné straně a zatížený příčnou silou na straně druhé schopen přenést, pokud nemá dojít k lomu nosníku. Na základě své analýzy namáhání nosníků Žuravski navrhl vylepšení nosníkových mostních konstrukcí - například zjistil, že u v té době stavěných mostů je možno snížit počet použitých nýtů.

Podle knihy History of strength of materials Stěpana Timošenka Žuravského práce rychle získala na popularitě a v ní předestřená teorie se v následujících letech objevila v řadě knih zabývajících se naukou o pružnosti a pevnosti. Kromě toho se už v roce 1858 William Rankine v knize A manual of applied mechanics pomocí Žuravským navrženého postupu určil maximální smykové napětí u ohýbaných nosníku obdélníkového, eliptického a dutého čtvercového průřezu. Navíc tuto hodnotu použil k výpočtu dodatečného průhybu v důsledku smykové deformace. Rankine však necituje Žuravského práci.

Žuravského vztah je pouze přibližný. Exaktní analytické řešení pro ohýbané nosníky s obdélníkovým průřezem bylo publikované Barré de Saint-Venantem v roce 1854/6 ukazuje, že u nosníků s poměrem výšky a šířky větší než 2 a které jsou vyrobeny z materiálu s Poissonovým poměrem 0.25, je chyba Žuravským predikovaného maximálního smykového napětí na neutrální ose menší než 3.5 %. Pro opačný poměr výšky a šířky nosníku (tj. u plochého nosníku) je chyba větší než 39%.

http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/rbsm?idrevue=73

Журнал Главною управления путей сообщения и публичных зданий Žurnal Glavnoû upravleniâ putej soobŝeniâ i publičnych zdanij Дмитрий Иванович

Журавский Peзyльтaты изслѣдoвaня системы Гау пpимѣнeннoй къ мocтaмъ

Щигровский уезд Курская губерния

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2996w/f1027.image.r=

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2998h/f147.image.r=

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2976b/f954.image.r= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2976b/f1032.image.r=

Externí odkazy

• Plné texty časopisu Žurnal Glavnoû upravleniâ putej soobŝeniâ i publičnych zdanij z let 1826-1888.

Reference

Mémoire sur la flexion des prismes

Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti